蒙迪荷爾問題(Monty Hall Problem)有悖「常理」的大哉問 (上) @漫天明月

近來公私兩忙，過去一段時間對環球新聞留意的多，深思的少，寫得更少。久違的一篇，想懷念一下舊人，但這個舊人我只能聞其名，未能見其人，但近月在媒體得悉他的離去，亦感到惋惜，畢竟他的出現曾對我有若干啟發。

此君就是蒙迪荷爾(Monty Hall)。

蒙迪荷爾在九月底逝世，享年96歲。他是美籍加拿大人，是美國著名的主持人，以主持長壽遊戲節目Let’s Make a Deal 而得享盛名，而令他流芳百世的，則是一個以他命名而備受爭議的問題—蒙迪荷爾問題(Monty Hall Problem)。

簡單的大哉問—蒙迪荷爾問題(Monty Hall Problem)

這個問題雖然以蒙迪荷爾命名，但不算是蒙迪荷爾提出，這個問題只是在他主持的Let’s Make a Deal中一個環節，而其中的情景被人取用作為一個有關機率(Probability)的問題。

問題大致是這樣的，假設你參加了一個遊戲節目，主持人(即蒙迪荷爾)叫你從三道門中選一，你便可以得到裏面隱藏的禮物。三道門後面的禮物不同，當中有兩道門後面是山羊，餘下一道是輛名車。然而，這個遊戲有趣的地方是在於它的三步曲設計：

第一步，你從三道門隨意選了一道。

第二步，由於山羊有兩隻，主持人則從餘下兩道門中打開有山羊的一道門給你看。

第三步，主持人就會問你，會不會改變主意，去選餘下一道未開的門，即是你面對一個新的問題：維持初衷(stay)還是改變主意(switch)。

所謂的Monty Hall Problem，就是要問你，理性上或策略上，維持初衷還是改變主意比較有利於獲得名車(即獲得名車的機率較大)，還是兩者都所謂(即機率均等)？

試想一想。

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正確答案是：你一定要改變主意(switch)！

蒙迪荷爾問題難倒眾生

我是個對這些「細思極恐」的冷知識趨之若鶩的人，這個Monty Hall Problem我第一次聽到是在大一時的統計課，當時教授輕輕帶過，但我印象深刻，因為答案不易令人信服，甚至有悖「常理」(counter-intuitive)。

後來查資料發現，早於1975年已有統計學家Steve Selvin以之為文，在學術期刊發表正確答案。但令這個問題廣為人知，卻要到1990年在一個雜誌專欄Ask Marilyn才吸引到社會各階層的眼球。

當時有讀者寫信以Monty Hall Problem求問Ask Marilyn 的欄主Marilyn vos Savant，Marilyn(她是個以IQ極高而著名的美國作家及跨界名人)提出改變主意(switch)應會大大提高你得到名車的勝算。結果，當時有上萬讀者發信不同意Marilyn的結論，當中包括不少數學家、統計學家以及博士級人馬。

近來我再上Youtube查了多個相關視頻，它們都嘗試去解析Monty Hall Problem的玄機，但視頻的comment section 仍有許多大在大吵特吵，證明這個問題雖然簡單，箇中心思卻是相當不簡單。

綜合來說，我們覺得要改變主意(switch)這個答案有古怪的地方，通常是以下幾點：

1.      參加者一開始便三選一，雖然另一道門被開啟，應該不會影響參加者已選及餘下未選之門後面禮物出現的機率。

2.      門後面禮物沒有調換，三道門還是三道門，選中名車的機率應由始至終是1/3。

3.      主持人開了其中一道有山羊的門，門餘下兩道，一道你已選另一道你未選，維持初衷還是改變主意其實是二選一，即機會一半半，轉不轉也無所謂。

其實上述的理解並不全錯，我也曾經墮入以上的思考陷阱。不過，這就是Monty Hall Problem珍貴的地方，就是要揭露出我們日常思考的盲點。

雖然問題已有專業解釋，有更多是非常嚴謹的學術論著，但要超越一般人如我的思考盲點，則最重要是提出一個易於理解接受的解說方式，在下文我會嘗試提出我自己能接受的一個版本。

漫天明月