蒙迪荷爾問題(Monty Hall Problem)有悖「常理」的大哉問 (下) @漫天明月

要解說好Monty Hall Problem，一點也不簡單，當中有不少關鍵要搞清楚，思考步驟也要小心嚴慎。上文中我特意利用三步曲去解釋遊戲的規則，至關重要，我們重溫一下：

第一步，你要從三道門中隨意選出一道。

第二步，由於山羊有兩隻，主持人則從餘下兩道門中打開有山羊的一道給你看。

第三步，主持人就會問你，會不會改變主意，去選餘下一道未開的門，即是你面對一個新的問題：維持初衷(stay)還是改變主意(switch)。

從三步曲解剖問題

為更清楚解剖問題，我簡單地畫了下圖用來解釋，也是從上述三步曲來逐點說明。

首先，你要從三道門中隨意選一道，在這一刻，你選中名車的機會率永遠是三分之一。不過，這不是遊戲的終點，而是起點，所以你在第一步的選擇，就是你面對的三個情境(scenarios)。

第一個情境：你不幸選中了兩頭山羊之一(羊1)，在第二步中，Monty必然會打開另一道有山羊的門(羊2)。

第二個情境：你又不幸選中了兩頭山羊之一(羊2)，Monty在第二步打開有羊1的門。

第三個情境：你幸運地選中了名車，Monty也一如既往也打開了背後有羊的門(羊1或羊2)。

最重要的決定時刻來了，在第三步你要決定維持初衷(stay)還是改變主意(switch)，由於你作為遊戲的玩家，不會知道自己的選擇是上面三個情境的哪一個，你只能乖乖地根據或然率考慮上述情境。

你知道，如果是情境一和二的話，你改變主意的話會得到名車，只有在情境三的時候，你改變主意會令你得到山羊。

結果是，你維持初衷(stay)得到名車的機會率是1/3，而改變主意(switch)的話，機會率會大增一倍到2/3！

因此，權衡輕重下，你必然要改變主意(switch)！

Monty Hall Problem的關鍵與陷阱

以上是我想到的一個較為易於接受的解釋版本，但並不代表它會令你百分百信服。無論如何，對於Monty Hall Problem令人覺得有悖「常理」(counter-intuitive)的現象，我很感興趣。以我看來，這個現象與遊戲規則當中的關鍵點容易為人忽略有關，而製造出思考的誤區。

首先，大家通常會忽略，三步曲中只有第一步是完全隨機的，第二步和第三步均受到Monty所影響。重要是，Monty這個主持人完全知道門後是什麼，也即是知道你選擇了什麼，他在第二步打開有羊的門這個舉動，是為這個遊戲加入了新的資訊(information)。

因此，事實上在第一和第二步之後，Monty已經將某些資訊透露了，而令你維持初衷(stay)或是改變主意(switch)得到名車的機會率有所分別。

我們覺得理解這點很困難，亦與這個問題的三道門的數目較少有關。換個例子，假設你是要買香港的六合彩(49個數字抽出6個數字為頭奬，機會率約為1400萬分之一)，第一步你選了一組六個數字，在第二步，Monty知道了六合彩頭獎的6個數字組合，再將其他接近1400萬個數字組合在你面前排除了，剩下一組6個數字組合。然後，第三步問你要維持你本來所選的6個數字，還是改變主意去選在Monty手上的一組6個數字。這個三步曲的設計與原本Monty Hall Problem完全一致，但是我想任何人也會Switch吧。

另外，Monty Hall Problem 問題的重心是在第三步，而第三步你要考慮的是，在Monty透露了額外的信息後，你要Stay而得到名車的機會大些，還是Switch得到名車的機會大些，而第一步你選擇名車的機率(一定是1/3)，或是餘下未開之門背後是羊還是車(機會率是1/2)，皆是風馬手不相及的問題。

仔細面對思考盲點

Monty Hall Problem帶給我們的啟發，是一個看似簡單的選擇問題，卻可以令很多人包括專家墮入迷思。而我相信，這種問題在我們日常生活比比皆是，一不小心便會陷於思想的圈套當中，我們要「不入誘惑」，就必須小心思考，避免思考的盲點。

漫天明月

相關文章：
蒙迪荷爾問題(Monty Hall Problem)有悖「常理」的大哉問 (上)